منتديات نبع الفرات

تمت ارشفة منتديات نبع الفرات

المشاركات من الموضوع التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية State Space Representation

  1. بواسطة حسين علي

    التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية
    (State Space Representation)


    عند كتابة النموذج الرياضي (Mathematical Model) للنظام الفيزيائي، يبتدأ الشخص عادة بكتابة المعادلات التفاضلية. ولكن من الأفضل أن يعيد الشخص كتابة هذه المعادلات كدرجة أولى من المعادلات التفاضلية للأنظمة المختلفة، من حيث الحسابات ومن حيث عمل (Simulation). وسنسمي هذا التمثيل للمعادلات التفاضلية بالتمثيل المصفوفي (State Space Representation).
    وحل هذا النوع من التمثيل للأنظمة يكون عبارة عن متجه (Vector)، ويعتمد هذا المتجه على الزمن، ويحتوي معلومات كافية للحصول بشكل كامل على مسير وكيفية عمل (Trajectory) هذا النظام الميكانيكي.
    هذا المتجه يعود على حالة النظام (State)، ومكونات هذا المتجه تدعى عادة (State Variables). لتوضيح هذه المفاهيم، سنطبق المثال التالي:

    مثال: Spring-mass-damper system

    [صورة]
    هذا هو نفس المثال الذي تمت مناقشته في الدرس الثاني، وقد قمنا باشتقاق المعادلة التفاضلية لهذا النظام. والمعادلة (انظر معادلة رقم2 في الدرس الثاني) هي:

    [صورة]




    لنعتبر أن المدخل لهذا النظام هو (f) والمُخْرَجْ (x). في هذا الحالة، لدينا معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، وهذا يعني أننا نحتاج إلى حالتين ابتدائيتين (initial conditions) لحل هذه المعادلة بشكل فريد (الحل الوحيد).
    على سبيل المثال، تحديد قيم x(t0) وتحديد قيم dx/dt(t0) سيسمح بحل المعادلة x(t) للزمن t لذلك نحتاج إلى متغيرين (State Variables) لوصف هذا النظام. وسنسمي (State Variables) ب xi، حيث i=1,2 ونقوم بعمل تحديد لهما.

    [صورة]

    سنقوم الآن بإعادة كتابة المعادلة التفاضلية في الأعلى بشكل مرتبط في (State Variable)، وسينتج لدينا ما يلي:

    [صورة]

    والآن نستطيع أن نستعمل المصفوفات لكتابة التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية (State Space Representation):

    [صورة]

    من المثال السابق، (State Vector) سيأخذ هذا الشكل:

    [صورة]